过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an．
（1）求a1的值．
（2）求证数列{an}是等比数列．
（3）设bn=16an+1316an-3，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|bM-bN|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．
网友回答
答案:
分析：（1）由题意可设切点Qn（an，ank），根据导数的几何意义可求切线方程，当n=1时由切线过点P（1，0）可求a1
（2）由切线过点Pn-1（an-1，0），代入整理可得
=
，可证
（3）由bn=
=1+
，构造函数y=1+
，t=(
)x，由复合函数单调性可求数列{bn}的最大项与最小项，而|bM-bN|＜|bn（最大值）-bn（最小值）|，可求m