【nsn下载】这个数列怎么求和等比数列an=2^n求S1 2S2 ... nSn...

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【答案】 ∵an=2^n
　　∴a1=2 q=2
　　于是Sn=2(1-2ⁿ)/(1-2)=2(2ⁿ-1)=2^(n+1)-2
　　S1+2S2+...+nSn
　　=2²-2+2*(2³-2)+3*(2⁴-2)+……+n[2^(n+1)-2]
　　=2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1)-(2+2*2+3*2+n*2)
　　=[2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1) ]-2(1+2+3+…………+n)
　　设Tn=2²+2*2³+3*2⁴+……+n*2^(n+1)
　　则2Tn= 2³+2*2⁴+3*2^5+……+n*2^(n+2)
　　相减得
　　Tn=-2²-2³-2⁴-……-2^(n+1)+n*2^(n+2)
　　=-[2²+2³+2⁴+……+2^(n+1)]+n*2^(n+2)
　　=-2²(1-2ⁿ)/(1-2)+n*2^(n+2)
　　=4-2^(n+2)+n*2^(n+2)
　　=(n-1)*2^(n+2) +4
　　Qn=2(1+2+3+…………+n)=2*(n+1)n/2=n²+n
　　∴S1+2S2+...+nSn
　　=Tn-Qn
　　=(n-1)*2^(n+2) +4-(n²+n)
　　=(n-1)*2^(n+2) -n^2-n+4