已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2=0的两根x1、x2满足x12-x22=0．若直线y=kx（x＞0）上有一点M，过M作MP⊥x轴于P．若OM=①求k的值．?

网友回答

解：①由方程的两个实数根为x1、x2，
得到b2-4ac=（2k-1）2-4k2≥0，解得：k≤，
∴x1+x2=-（2k-1）=1-2k，
∵x12-x22=（x1+x2）（x1-x2）=0，
∴x1+x2=0或x1-x2=0，
当x1+x2=0，即1-2k=0，解得：k=（不合题意，舍去）；
当x1-x2=0，即x1=x2，可得b2-4ac=（2k-1）2-4k2=0，
整理得：4k=1，解得：k=；

②设M的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直线的方程为y=x过此点，
∴把此点代入直线方程得：b=a，即a=4b，①
又∵△OMP为直角三角形，OM=，OP=a，MP=b，
根据勾股定理得：OM2=OP2+MP2，即a2+b2=17，②
①代入②得：16b2+b2=17，即b2=1，
解得：b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：a=4，
则M的坐标为（4，1）．
解析分析：①由关于x的一元二次方程有根，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，然后利用根与系数的关系表示出x1+x2，把x12-x22=0等号左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，得到x1+x2=0或x1-x2=0，当x1+x2=0时，表示出的两根之和为0，求出k的值，利用k的范围检验不合题意，舍去；当x1-x2=0时，方程有两个相等的实数根，求出此时k的值即可；
②由第一问求出的k值确定出直线y=kx的方程，设出M的坐标为（a，b），由题意得到a与b都大于0，把M的坐标代入直线方程，得到a与b的方程，记作①，又三角形OMP为直角三角形，由OM，OP及PM的上，利用勾股定理表示出a与b的令一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而确定出M的坐标．

点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，不解方程判断方程解的情况，勾股定理，以及一次函数的性质，注意第一小问k的值有两解，应根据根的判别式作出取舍．