如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）请你求出点A、B、C的坐标；（2）求出直线BC的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P

网友回答

解：（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，-x2+2x+3=0
解方程得：x1=3，x2=-1．
∴它们的坐标是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）设BC的解析式是：y=kx+b，则有，
解得：
∴所求的解析式是：y=-x+3；

（3）存在点P，使△PBC的面积等于△ACO面积的3倍．
∵A（-1，0），C（0，3）得：AO=1，CO=3，
∴S△AOC=×AO?CO=×1×3=，
∵B（3，0），
∴BO=3，
∴S△OBC=×BO?CO=×3×3=，
∴S△OBC=3S△AOC，
显然，在BC上方不存在点P．
过点O作与直线BC平行的直线，则可设这条直线的解析式为：y=-x+b2
∵此直线过点O（0，0），
∴b2=0
∴这条平行线是：y=-x．
把y=-x代入y=-x2+2x+3得：-x2+2x+3=-x，
解得：x1=，x2=，
当x1=时，y=，
当x2=时，y=．
∴所求的P点坐标是：（，）和（，）．
解析分析：（1）先令x=0求出y的值，再令y=0求出x的值，故可得出A，B，C三点坐标；
（2）设BC的解析式是y=kx+b，再把BC两点的坐标代入即可求出k，b的值，故可得出结论；
（3）先根据AC两点的坐标可得出AO，CO的长，故可得出△AOC的面积，同理可得出△OBC的面积，进而可得出S△OBC=3S△AOC，过点O作与直线BC平行的直线，则可设这条直线的解析式为y=-x+b2，因为此直线过点O（0，0），故可得出此直线的解析式为把y=-x，代入y=-x2+2x+3即可得出x的值，故可得出结论．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式等知识，难度适中．