已知△ABC,
(1)如图1,若D点是△ABC内任一点,BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.?则∠D、∠A的关系为______.
(2)若D点是△ABC外一点,位置如图2所示.BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线.?则∠D、∠A的关系为______.
(3)若D点是△ABC外一点,位置如图3所示.BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线.?则∠D、∠A的关系为______.
网友回答
解:(1):∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A,
∴∠BDC=90°-∠A,即∠D=90°-∠A.
(2):∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=∠EBC,∠BCD=∠BCF,
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=(∠EBC+∠BCD)=(180°+∠A)=90°+∠A,
在△DBC中∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A,即∠D=90°-∠A.
(3)∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线,
∴∠1=∠DBC=∠ABC,∠2=∠DCE=(∠A+∠ABC),
∵∠ACE是△ABC的外角,
∴∠ACE=∠A+∠ABC,
∵∠DCE是△BCD的外角,
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=∠ACE-∠ABC
=(∠A+∠ABC)-∠ABC
=∠A.
故