已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC，交线段CB的延长线于点Q．（1）当BP=BC时，求证：BQ=BP．（2）当∠A=30°

网友回答

（1）证明：∵BP=BC，∴∠BPC=∠BCP．
∵PQ⊥PC，∴∠BPC+∠BPQ=90°，∠BCP+∠BQP=90°．
∴∠BPQ=∠BQP．
∴BQ=BP；

（2）作PH⊥BC，垂足为点H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴∠ABC=60°，BC=2．
∵BP=x，
∴，．
∴．
∵PQ2=PH2+QH2，PQ2=CQ2-CP2=CQ2-（PH2+CH2），
∴PH2+QH2=CQ2-（PH2+CH2），即2PH2+QH2=CQ2-CH2．
∴．
整理，得4y-xy=2x2-2x．
∴所求的函数解析式为．
定义域为1＜x＜4．
解析分析：（1）根据等腰三角形的两个底角相等推知∠BPC=∠BCP；然后由垂直的定义、等量代换证得∠BPQ=∠BQP．易证结论；
（2）作PH⊥BC，垂足为点H．通过解直角△ABC知∠ABC=60°，BC=2．则根据图示与勾股定理求得，PH2+QH2=CQ2-（PH2+CH2），即2PH2+QH2=CQ2-CH2．所以将有关线段的长度代入其中，即可得到y与x的关系式．

点评：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边是所对的斜边的一半．