如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:
(1)OI是△IBD的外接圆的切线;
(2)AB+AD=2BD.
网友回答
解:(1)∵∠CID=∠IAD+∠IDA,∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA
∴∠CID=∠CDI,
∴CI=CD.
同理,CI=CB.
故点C是△IBD的外心.
连接OA,OC,
∵I是AC的中点,且OA=OC,
∴OI⊥AC,即OI⊥CI.
∴OI是△IBD外接圆的切线.
(2)由(1)可得:
∵AC的中点I是△ABD的内心,
∴∠BAC=∠CAD
∴∠BDC=∠DAC=∠BAC,
又∵∠ACD=∠DCF,
∴△ADC∽△DFC,
∴=,
∵AC=2CI
∴AC=2CD
∴AD=2DF
同理可得:AB=2BF
∴AB+AD=2BF+2DF=2BD.
解析分析:(1)根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质,以及等角对等边即可证得C是△IBD的外心,然后证得OI⊥CI,即可证得OI是△IBD的外接圆的切线;
(2)根据(1)可以得到AI=CD,AB=2BF,即可证得.
点评:本题考查了圆的切线的证明,以及三角形的内心的计算,证得C是△IBD的外心是关键.