将数列{an}中的所有项数按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …将数列{an}中的所有项数按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 记表中的第一列数a1、a2、a4、a7……构成的数列为{bn},且 b2=4,b5=10,表中每一行正中间一个数a1,a3,a7,…
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1.S(n+1)(Sn+2)=Sn(2-S(n+1))
S(n+1)Sn+2S(n+1)=2Sn-SnS(n+1)
2S(n+1)Sn+2S(n+1)=2Sn
两边除以2S(n+1)Sn
1+1/Sn=1/S(n+1)
1/S(n+1)-1/Sn=1
{1/Sn}是公差为1的等差数列
2.1/S1=1/B1=1/A1=1
1/Sn=1+(n-1)=n
Sn=1/n
n>=2时Bn=Sn-S(n-1)=1/n-1/(n-1)=-1/[n(n-1)]
B1=A1=1
原数列第n行有n个数
每行最后一个为n(n+1)/2
每行第一个为n(n+1)/2-(n-1)=(n^2-n+2)/2
Bn=A[(n^2-n+2)/2]
A16=B6=-1/30
A18/A16=q^2=(-1/30)/(-2/15)=1/4
q>0 q=1/2
3.Cn=A[n(n+1)/2]
Cn=Bn×q^(n-1)=-1/[n(n-1)]×(1/2)^(n-1)
Dn=n^2×(n-1)×Cn=-n/2^(n-1)
D1=n^2×(n-1)×C1=0
Tn=D1+D2+D3+……+Dn
=-(0+2/2^1+3/2^2+……+n/2^(n-1))
2Tn=-(0+2/2^0+3/2^1+……+n/2^(n-2))
两式错位相减
Tn-2Tn=2+[(3/2^1-2/2^1)+……+n/2^(n-2)-(n-1)/2^(n-2)]-n/2^(n-1)
=2+(1/2^1+……+1/2^(n-2))-n/2^(n-1)
(括号中的n-2项构成等比数列)
=2+(1/2)×(1-1/2^(n-2))/(1-1/2)-n/2^(n-1)
=3-(n+2)/2^(n-1)
Tn=(n+2)/2^(n-1)-3