如图，以⊙O上一点O1为圆心作圆和⊙O相交于A，B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙O1于D．CB交⊙O1于E，AB与CO交于F．求证：（1）AC?BC=CF2+A

网友回答

证明：（1）连接O1A，O1B，则O1A=O1B，
∴=，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠CAB=∠CO1B，
∴△AFC∽△O1BC，
∴=，
∴AC?BC=O1C?CF=（O1F+CF）?CF=CF2+O1F?CF，
∵AF?BF=O1F?CF，
∴AC?BC=CF2+AF?BF；

（2）连接O1D，则O1D=O1B=O1A，
∴∠O1DB=∠O1BD，∠O1DA=∠O1AD，
∵∠O1AD=∠CBO1，
∴∠O1DA=∠CBO1，
∴∠O1DA+∠O1DB=∠O1BD+∠CBO1，即∠CDB=∠CBD．
解析分析：（1）连接O1A，O1B，由圆的半径相等得到O1A=O1B，再利用等弦所对的劣弧相等得到两条弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再利用同弧所对的圆周角相等得到另一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形AFC与三角形O1BC相似，由相似得比例，等量代换即可得证；
（2）连接O1D，则O1D=O1B=O1A，利用等边对等角得到两对角相等，再由圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，等量代换即可得证．

点评：此题考查了相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握相交两圆的性质是解本题的关键．