在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0<x≤3），解答下列问题：
（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 数学
网友回答
【答案】 （1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=4，CD=AB=3，当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，∴BQ=AB-AQ=3-x，CP=BC-BP=4-x，∴S△ADQ=12AD?AQ=12×4x=2x，S△BPQ=12BQ?BP=12（3-x）x=32x-12x2，S△PCD=12PC?CD=12?（4-x）?3=6-32x，又S矩形ABCD=AB?BC=3×4=12，∴S=S矩形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=12-2x-（32x-12x2）-（6-32x）=12x2-2x+6=12（x-2）2+4，即S=12（x-2）2+4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，∴当0<x<2时，S随x的增大而减小，当2<x≤3时，S随x的增大而增大，又当x=0时，S=5，当S=3时，S=92，但x的范围内取不到x=0，∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；（2）存在，理由如下：由（1）可知BQ=3-x，BP=x，CP=4-x，当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，∴△BPQ∽△CDP，∴BQPC=BPCD，即3-x4-x=x3，解得x=7+
【问题解析】
（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值． 名师点评 本题考点 四边形综合题 考点点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等．在（1）中求得S关于x的关系式后，求S的最值时需要注意x的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【本题考点】
四边形综合题 考点点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等．在（1）中求得S关于x的关系式后，求S的最值时需要注意x的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．