设e1,e2分别为公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,p为两曲线的一个公共点,且满足向量PF1*PF2=0,则(1/e12)+(1/e22)的值是多少?
网友回答
设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2
焦距均为2c
∵P为两曲线的一个公共点,不妨设P在第一象限
∴|PF1|+|PF2|=2a1 ①
|PF1|-|PF2|=2a2 ②
∴①²+②²
2(|PF1|²+|PF2|²)=4(a²1+a²2)
∴|PF1|²+|PF2|²=2(a²1+a²2)
∵向量PF1·PF2=0
∴PF1⊥PF2
∴|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|=4c²
∴a²1+a²=2c²
∴a²1/c²+a²2/c²=2
∵e1=c/a1,e2=c/a2
∴(1/e²1)+(1/e²2)=2