发布时间：2021-02-17 05:17:33
已知，如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=300，∠AED=900。
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动。设移动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。
解：（1）在平行四边形ABCD中， BC=6，∴AD= BC=6。
∵在Rt△AED中，∠EAD=300，∠AED=900，∴DE=3，AE=。
∴△AED的周长为。
（2）S与t之间的函数关系式为。
（3）存在。分三种情况讨论：
①若BP=BQ，如图，则
∵∠PBQ=300，
∴∠BQP=∠BPQ=750。
∴∠E1QC=∠BQP=750。
∴∠E1CQ=900－750=150。
∴。
②若PQ=BQ，如图，则
∵∠PBQ=300，
∴∠BQP=1200。
∴∠B1QC=∠BQP=1200。
∴∠B1CQ=1800－1200－300=300。
∴。
③若PQ=BP，如图，则
∵∠CBE =300，
∴∠PBQ=300。
∴∠BQP=∠PBQ=300。
∴∠E1CQ=900－300=600。
∴。
根据等腰三角形三线合一的性质，此时B、P、Q三点重合。
∴此时不存在这样的，使△BPQ为等腰三角形。
综上所述，存在这样的，使△BPQ为等腰三角形，或。
【解析】（1）根据平行四边形对边相等可得AD= BC=6，在Rt△AED中根据含30度角直角三角形的性质可得DE=3，AE=，从而可求△AED的周长。
（2）如图，当△AED移动到点E0在BC边上时，易得△CD0E0是等边三角形，故在D0C=3，△AED移动的距离DD0=12－3=9，从而由速度为每秒2个长度单位，得△AED移动的时间为。
当A0D0与BC重合时，△AED移动的距离为DC=12，由速度为每秒2个长度单位，得△AED移动的时间为。
∴当时，。
当时，如图，，
过点D0作在D0H⊥BC于点H，过点N作NG⊥AB于点G，则
DD0=2t，D0C=A0B=BN=，∴。
∴。
当时，0，满足上式。
综上所述，S与t之间的函数关系式为。
（3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三种情况讨论即可。