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习题 1−1
1. 设 A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出 A∪B, A∩B, A\B 及 A\(A\B)的表达式.
解 A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),
A∩B=[−10, −5),
A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞),
A\(A\B)=[−10, −5).
2. 设A、 B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC ∪B C .
证明 因为
x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈AC或x∈B C ⇔ x∈AC ∪B C,
所以 (A∩B)C=AC ∪B C .
3. 设映射 f : X →Y, A⊂X, B⊂X . 证明
(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);
(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
证明 因为
y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B, 使 f(x)=y
⇔(因为 x∈A 或 x∈B) y∈f(A)或 y∈f(B)
⇔ y∈ f(A)∪f(B),
所以 f(A∪B)=f(A)∪f(B).
(2)因为
y∈f(A∩B)⇒ ∃x∈A∩B, 使 f(x)=y⇔(因为 x∈A 且 x∈B) y∈f(A)且 y∈f(B)⇒ y∈ f(A)∩f(B),
所以 f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 D = Ifg X , , D = Igf Y 其中IX、 IY分别是X、
Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g
是f的逆映射: g=f −1.
证明 因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某
元素的像, 所以f为X到Y的满射.
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