当k=1，2，3，…，2004，2005时，求所有函数y=k（k+1）x2-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和．

网友回答

解：设y=k（k+1）x2-（2k+1）x+1与x轴的交点坐标为（x1，O）、（x2，O），
∴|x1-x2|==，
而k为正整数，
∴|x1-x2|==-，
∴当k=1，2，3，…，2004，2005，
所有函数y=k（k+1）x2-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和
=（1-）+（-）+（-）+…+（-）
=1-
=．

解析分析：设y=k（k+1）x2-（2k+1）x+1与x轴的交点坐标为（x1，O）、（x2，O），根据抛物线与x轴两交点的距离公式得到|x1-x2|==，根据k为正整数变形为|x1-x2|==-，然后把k=1，2，3，…，2004，2005代入计算即可得到所有线段长度的和．

点评：本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点的距离公式：设y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（x1，O）、（x2，O），则|x1-x2|=（b2-4ac＞0）．也考查了分数的运算技巧．