发布时间：2021-02-21 05:49:29
(本小题满分12分)
已知函数f（x）=x3－ax2，其中a为实常数.
（1）设当x∈（0，1）时，函数y = f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥－1，求a的取值范围
（2）当x∈［－1，1］时，求函数y=f（x）+a（x2－3x）的最大值.
(1) （－∞，].
(2) g（x）
【解析】解：（1）
由k≥－1，得3x2－2ax+1≥0，即a≤恒成立
∴a≤（3x+）min
∵当x∈（0，1）时，3x+≥2=2，当且仅当x=时取等号.
∴（3x+）min =.故a的取值范围是（－∞，].
（2）设g（x）=f（x）+a（x2－3x）=x3－3ax，x∈［－1，1］则
g′(x)=3x2－3a=3（x2－a）.
①当a≥1时，∴g′（x）≤0.从而g（x）在［－1，1］上是减函数.
∴g（x）的最大值为g（－1）=3a－1.
②当0<a<1时，g′（x）=3（x+）（x－）.
由g′(x) >0得，x>或x<－：由g′(x)<0得，－<x<.
∴g（x）在［－1，－］，［，1］上增函数，在［－，］上减函数.
∴g（x）的极大值为g（－）=2a.
由g（－）－g（1）=2a+3a－1=（+1）·（2－1）知
当2－1<0，即0≤a<时，g（－）<g（1）
∴g（x）=g（1）=1－3a．
当2－1≥0，即<a<1时，g（－）≥g（1）
∴g（x）=g（－）=2a.
③当a≤0时，g′（x）≥0，从而g（x）在［－1，1］上是增函数.
∴g（x）=g（1）=1－3a
综上分析，g（x）