如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC=12,BD=16,E为AD的中点,点P在BD上移动,若△POE为等腰三角形,则所有符合条件的点P共有________个.
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解析分析:首先可以确定的P点有3个:①以O为圆心OE为半径作圆,与BD交于两点,都符合P点的要求;②连接OE,OE的中垂线交BD于一点,此点也符合P点要求;
然后连接OE,过E作OD的垂线EF,易得EF是△AOD的中位线,结合菱形的性质可证得EF垂直平分OD,因此OE=DE,即D点也符合P点的要求,所以共有4个点P.
解答:如图①,首先可以确定的P点有三个:
一、以O为圆心OE为半径作圆,⊙O交BD于P1、P2;
二、连接OE,作OE的垂直平分线,交BD于P3;
如图②,连接OE,过E作EF⊥OD于F;
由于四边形ABCD是菱形,故AO⊥OD,即EF∥AO;
又∵E是AD中点,
∴F是OD的中点,
∴EF是△AOD的中位线,
即EF垂直平分OD,
∴OE=DE,故D点符合P点的要求;
综上所述,符合条件的P点有4个.
故