设f（x）在区间[a，b]上具有二阶导数，且f（a）=f（b）=0，f′（a）f′（b）＞0，证明：存在ξ∈（a，b）

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证明：由于f′（a）f′（b）＞0，因此不妨假设f′（a）＞0，f′（b）＞0（f′（a）＜0，f′（b）＜0的情况用类似方法也可得证）由导函数定义可得：limx→a+f(x)x?a＞0，limx→b?f(x)x?b＞0，根据极限的保号性，可知?x1∈（a，a+δ1）和x2∈（b-δ2，b）使得f（x1）＞0，f（x2）＜0，其中δ1，δ2为充分小的正数，显然x1＜x2，在区间[x1，x2]上应用介值定理得：?ξ∈（x1，x2）?（a，b），使得f（ξ）=0．再由f（a）=f（ξ）=f（b）=0及罗尔定理可知：?η1∈（a，ξ）和η2∈（ξ，b），使f′（η1）=f′（η2）=0；在[η1，η2]区间上，对f′（x）运用罗尔定理，可得η∈（η1，η2）?（a，b）使f″（η）=0．证毕．