数据库：求F={A→B,B→A,B→C,A→C,C→A},最小（极小）函数依赖集合

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数据库：求F={A→B,B→A,B→C,A→C,C→A},最小（极小）函数依赖集合要解答此问题我们先来了解一下概念：如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。（1）F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。（2）F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。（3）F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价。然后我们再来看一下通用解答步骤：① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。下面我们来解答以下楼主提出的这个问题：1、利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖。从题目来看，F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性：{A→B,B→A,B→C,A→C,C→A}，跳过第二步直接进行第三步。2、去掉F中多余的函数依赖（1）设A→B冗余，从F中去掉A→B,则F1={B→A,B→C,A→C,C→A}。计算(A)F1+：设X(0)=A,计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为A或A子集的函数依赖，A→C。故有X(1)=X(0)U C=AC;扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AC或为AC子集的函数依赖，C→A,X(2)=X(1)U C=AC.但AC不包含B，故A->B不能从F中去掉。（2）设B→A冗余，从F中去掉B→A，则F2={A→B,B→C,A→C,C→A}。计算(B)F2+:设X(0)=B，计算X(1)：扫描F2中各个函数依赖，找到左部为B或者B子集的函数依赖，B→C.故有X(1)=X(0)U C =BC;扫描F2中各个函数依赖，找到左部为BC或为BC子集的函数依赖，C->A,X(2)=X(1)U A=ABC.X(2)包含所有属性，故B→A可从F中去掉。（3）设B→C冗余，从F中去掉B→C，则F3={A→B,A→C,C→A}。计算(B)F3+：扫描F3中各个函数依赖，找不到左部为B或B子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖，故有X(1)=X(0)=B，(B)F1+= B不包含C，故B→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。（4）设A→C冗余，从F中去掉A→C，则F4={A→B,B→C，C→A}。计算(A)F4+：设X(0)=A,计算X(1)：扫描F4中各个函数依赖，找到左部为A或A子集的函数依赖，A→B。故有X(1)=X(0)U B=AB;扫描F4中各个函数依赖，找到左部为AB或为AB子集的函数依赖，B→C,X(2)=X(1)U C=ABC.X(2)包含所有属性，故A→C可从F中去掉。（5）设C→A冗余，从F中去掉C→A，则F4={A→B,B→C}。计算(C)F5+：设X(0)=C,计算X(1)：扫描F5中各个函数依赖，找到左部为C或C子集的函数依赖，找不到左部为C或C子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖，故有X(1)=X(0)=C，(B)F1+= C不包含A，故C→A不是冗余的函数依赖，不能从F中去掉。（6）至此，所有依赖均以验算完毕，故F最小（极小）函数依赖集合为：{A→B,B→C，C→A}