怎么判断多元函数极限不存在

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多元函数的极限要证明存在是不容易的，要证明不存在则是非常容易的，只要选择一种方式使极限不存在或选择两种方式使极限不相等，就可以得到极限不存在的结论了。

lim<x-->0,y-->0>[√(xy+1)-1]/(x+y)

=lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

这步是等价无穷小代换，是没有问题的。

沿y=0，lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]=lim<x-->0>0/(2x)=0

沿y=-x+x^2，lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

==lim<x-->0>(-x^2+x^3)/[2(x^2)]=-1/2

两种方式极限不相等，所以原来的极限不存在。

设X＝KY，则原式

＝(KY＋Y)÷(KY－Y)

＝（K＋1）÷（K－1）

可见，极限随着k值的变化而变化，故极限不存在。