试题难度：难度：中档 试题类型：解答题 试题内容：某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②x=a2时y=a2；
③0≤x2(a-x)≤t其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．
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试题答案：（1）设y=k(a-x)x，当x=a2时y=a2，可得k=4，∴y=4（a-x）x∴定义域为[0，2at1+2t]，t为常数，t∈[0，1]（2）y=4(a-x)x=-4(x-a2)2+a2当2at1+2t≥a2时，即12≤t≤1，x=a2时，ymax=a2当2at1+2t＜a2时，即0≤t＜12时，y=4（a-x）在[0，2at1+2t]上为增函数，则当x=2at1+2t时，ymax=8at2(1+2t)2从而当12≤t≤1时，投入x=a2时，售价y最大为a2万元；当0≤t＜12时，投入x=2at1+2t时，售价y最大为8at2(1+2t)2万元．