如图1，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠XDY=90°，∠XDY分别交AC、BC于M、N．（1）求证：DM=DN；（2）若将∠XDY绕

网友回答

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，
∴DA=DC，∠A=∠DCN=45°，CD⊥AB，
又∵∠ADM+∠MDC=90°，
而∠NDC+∠MDC=90°．
∴∠ADM=∠NDC，
∵在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN；

（2）解：DN=DM．理由如下：
如图所示，∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，
∴DC=DB，∠ABC=∠DCB=45°，CD⊥AB，
∴∠DCM=∠DBN=135°，
又∵∠CDM+∠MDB=90°，
而∠NDB+∠MDB=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
∵在△DCM和△DBN中
，
∴△DCM≌△DBN（ASA），
∴DM=DN．
解析分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DC，∠A=∠DCN=45°，CD⊥AB，再利用等角的余角相等得到∠ADM=∠NDC，然后根据“ASA”可判断△ADM≌△CDN，则DM=DN；
（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到DC=DB，∠ABC=∠DCB=45°，CD⊥AB，利用平角的定义得∠DCM=∠DBN=135°，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根据“ASA”可判断△DCM≌△DBN，所以DM=DN．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．