证明弦切角定理需分几类,分类的标准是

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分3类,标准是圆心与弦切角的相对位置
证明弦切角定理需分几类,分类的标准是(图1)
 
设AP切⊙O于P,PQ是弦
则∠APQ是弦切角,∠APQ夹的弧是弧PQ,弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ
只需证明∠APQ=∠PCQ
1° O在∠APQ外部
 
  过P作直径BP,联结BC 
  则BP⊥AP,∠APB=90°,且∠BCP是直径BP所对的圆周角,∠BCP=90° 
  则有∠APB=∠BCP,即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ 
  由于∠BPQ,∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以∠BPQ=∠BCQ 
  所以∠APQ=∠PCQ2° O在∠APQ的一边,PQ上
 
  此时PQ是直径,则PQ⊥AP,∠APQ=90° 
  而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角,∠PCQ=90° 
  所以∠APQ=∠PCQ3° O在∠APQ内部
 
  过P作直径BP,联结BC 
  则BP⊥AP,∠APB=90°,且∠BCP是直径BP所对的圆周角,∠BCP=90° 
  则有∠APB=∠BCP 
  由于∠BPQ,∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以∠BPQ=∠BCQ 
  所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ 
  即∠APQ=∠PCQ