【梅涅劳斯定理】梅涅劳斯定理证明

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【答案】 证明一　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
　　　　则AF/FB=AG/BD ,CE/EA=DC/AG.
　　　　三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
　　证明二
　　　　过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF
　　　　所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
　　证明三
　　　　连接BF.
　　　　（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)
　　　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）
　　　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）
　　　　=1
　　证明四
　　　　过三顶点作直线DEF的垂线,AA‘,BB',CC'
　　　　有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似,三式相乘得1
　　　　得证.如百科名片中图.
　　　　充分性证明：
　　　　△ABC中,BC,CA,AB上的分点分别为D,E,F.
　　　　连接DF交CA于E',则由充分性可得,(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1
　　　　又∵(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
　　　　∴有CE/EA=CE'/E'A,两点重合.所以DEF共线