在△ABC中,∠ACB=45°.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.
(2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么?
(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=,BC=3,CD=x,求线段CP的长.(用含x的式子表示)
网友回答
解:(1)CF与BD位置关系是垂直;
证明如下:
∵AB=AC,∠ACB=45°,
∴∠ABC=45°.
由正方形ADEF得AD=AF,
∵∠DAF=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴∠ACF=∠ABD.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.
即CF⊥BD.
(2)AB≠AC时,CF⊥BD的结论成立.
理由是:
过点A作GA⊥AC交BC于点G,
∵∠ACB=45°,
∴∠AGD=45°,
∴AC=AG,
同理可证:△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,
①点D在线段BC上运动时,
∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.
∴DQ=4-x,△AQD∽△DCP,
∴,
∴,
∴.
②点D在线段BC延长线上运动时,
∵∠BCA=45°,
∴AQ=CQ=4,
∴DQ=4+x.
过A作AQ⊥BC,
∴∠Q=∠FAC=90°,∠ADQ=∠AFC,
则△AQD∽△ACF.
∴CF⊥BD,
∴△AQD∽△DCP,
∴,
∴,
∴.
解析分析:(1)由∠ACB=45°,AB=AC,得∠ABD=∠ACB=45°;∴∠BAC=90°,由正方形ADEF,可得∠DAF=90°,AD=AF,∠DAF=∠DAC+∠CAF;∠BAC=∠BAD+∠DAC;∴∠CAF=∠BAD.可证△DAB≌△FAC(SAS),得∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(2)过点A作AG⊥AC交BC于点G,可得出AC=AG,易证:△GAD≌△CAF,所以∠ACF=∠AGD=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=,BC=3,CD=x,求线段CP的长.考虑点D的位置,分两种情况去解答.①点D在线段BC上运动,已知∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.即DQ=4-x,易证△AQD∽△DCP,∴,∴,问题可求.②点D在线段BC延长线上运动时,∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q,则△AGD∽△ACF,得CF⊥BD,由△AQD∽△DCP,得,∴,问题解决.
点评:此题综合性强,须运用所学全等、相似、正方形等知识点,属能力拔高性的类型.