直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，（1）如图，当A′B′边经过点

网友回答

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC为等边三角形．
∴∠α=∠B′CB=60°．

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．
∵DE∥A'B'，
∴．
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，
∴．
∴△CAD∽△CBE；
∴．
∵∠A=30°
∴=．
∴（0＜x＜2）
②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴，
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，
∴，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此时，．
当S=时，．
整理，得x2-2x+1=0．
解得x1=x2=1，即AD=1．
当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．
仍设AD=x，则BD=x-2，∠DBE=90°，．
当S=时，．
整理，得x2-2x-1=0．
解得，（负值，舍去）．
即．
综上所述：AD=1或．
解析分析：（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2．

点评：本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．