大数定律证明题8. 设随机变量nX服从柯西分布,其密度函数为

网友回答

由于柯西分布的各阶矩都不存在,因此这里不能使用切比雪夫不等式
根据依概率收敛的定义：对任意的ε>0,有P{|Xn-0|≥ε}=P{Xn≤-ε}+ P{Xn≥ε}
=∫{-∞,-ε}n/[π*(1+n²x²)]dx+∫{ε,+∞}n/[π*(1+n²x²)]dx
=1/π*arctan(n*x)| {-∞,-ε}+1/π*arctan(n*x)| {ε,+∞}
=1/π*[-arctan(n*ε)+π/2]+1/π*[π/2-arctan(n*ε)]
=1-2/π*arctan(n*ε)
故lim{n→∞} P{|Xn-0|≥ε}=lim{n→∞}[1-2/π*arctan(n*ε)]
=1-2/π*π/2
=0即lim{n→∞} Xn=0 (P)