如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,AC=4;D是BC的延长线上的一个动点,∠EDA=∠B,AE∥BC.(1)找出图中的相似三角形,并加以证明;(2)设

发布时间:2020-08-09 11:06:39

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,AC=4;D是BC的延长线上的一个动点,∠EDA=∠B,AE∥BC.
(1)找出图中的相似三角形,并加以证明;
(2)设CD=x,AE=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当△ADE为等腰三角形时,求AE的长.

网友回答

解:(1)△ADE∽△DBA,理由为:
证明:∵AE∥BC,
∴∠EAD=∠ADB,
∵∠EDA=∠B,
∴△ADE∽△DBA;
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,AC=4,
∴AB==5,
∴BC==3,
∵△ADE∽△DBA,
∴=,
设CD=x,AE=y,
则BD=BC+CD=3+x,AD==,
∴=,
∴y=(x2+16)(x>0);
(3)分三种情况考虑:
当△ADE为等腰三角形,且AE=AD时,如图所示:

∵△ADE∽△DBA,
∴△DBA也为等腰三角形,即DB=DA,此时四边形ABDE为平行四边形,
设AE=AD=BD=x,则有CD=BD-BC=x-3,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得:AD2=AC2+CD2,即x2=42+(x-3)2,
解得:x=,
此时AE=;
当△ADE为等腰三角形,且AE=DE时,如图所示:

∵△ADE∽△DBA,
∴AD=AB=5,
在Rt△ACD中,AC=4,AD=5,
根据勾股定理得:CD=3,
故BD=BC+CD=3+3=6,
∴=,即=,
解得:AE=;
当△ADE为等腰三角形,且AD=DE时,如图所示:

∵△ADE∽△DBA,
∴BD=AB=5,
故CD=BD-BC=5-3=2,
在Rt△ACD中,AC=4,CD=2,
根据勾股定理得:AD=2,
∴=,即=,
解得:AE=4,
综上,AE的值为4或.
解析分析:(1)△ADE∽△DBA,理由为:由AE平行于BC,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由已知的一对角相等,利用两对对应边相等的两三角形相似可得证;
(2)在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义表示出sinB,将AC及sinB的值代入,求出AB的长,进而利用勾股定理求出BC的长,由(1)得出的两三角形相似得出比例式,设CD=x,AE=y,由BD=BC+BD表示出BD,再由AC及CD的长,利用勾股定理表示出AD,将各自的值代入比例式,整理后即可得到y与x的关系式,并根据边CD大于0得到x大于0,即为函数的定义域;
(3)当△ADE为等腰三角形,分三种情况考虑:AE=AD;AE=DE;AD=DE,分别利用相似得比例及勾股定理即可求出AE的长.

点评:此题属于相似形综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,平行线的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,以及等腰三角形的性质,利用了数形结合及分类讨论的数学思想,灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
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