【欧拉常数】欧拉常数如何证明

网友回答

【答案】 这是我 在 网上搜的不知对不对啊 ：
　　学过高等数学的人都知道,调和级数
　　S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
　　由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
　　=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
　　所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
　　但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为
　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
　　=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
　　因此Sn有下界
　　而
　　Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
　　=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)
　　将ln(1+1/n)展开,取其前两项,由于舍弃的项之和大于0,故
　　ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0
　　即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0,所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
　　S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
　　于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：
　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2