【格拉姆】向量组线性相关当且仅当相应的格拉姆行列式等于零.怎么证?

网友回答

【答案】 a1,a2,...,am,若线性相关,则存在不全为0的数k1,...,km使得k1a1+...+kmam=0,于是(k1a1+...+kmam）^T(k1a1+...+kmam)=0,即k^TGk=0,其中k是分量为k1,...,km的向量,G是Gram矩阵.于是G奇异,即行列式等于0（注意G是半正定阵,非零向量k使得k^TGk=0当且仅当G奇异）.反之,G奇异,则存在非零向量k使得k^TGk＝0,即(k1a1+...+kmam）^T(k1a1+...+kmam)=0,于是存在不全为0的数k1,...,km使得k1a1+...+kmam=0,故a1,a2,...,am线性相关