设x,y为正有理数,根号x,根号y为无理数,求证:根号x+根号y为无理数

网友回答

反证法.假设存在既约分式m/n满足√x + √y = m/n,那么移项可得
√x = m/n - √y,两边平方得
x = m²/n² + y - 2m√y/n,整理得
√y = n(m²/n² - x + y)/(2m).
上式左边是无理数,右边是有理数,这一矛盾说明了假设的错误.
因此,√x + √y不能表示成既约分式,它是无理数.