设数列，数列{bn}满足：bn=an+1-an．（I）求a0，a2；（II）当n∈N*时，求证：数列{bn}为等差数列；（III）设，求证：．

网友回答

（I）解：∵
∴令m=n，可得a0=0；令n=0，可得a2m=4am-2m
令m=1，可得a2=4a1-2=6；
（II）证明：令m=n+2，则
∵a2m=4am-2m
∴a2n+1=4an+1-2（n+1），a2n+4=4an+2-2（n+2），a2n=4an-2n
∴an+2=2an+1-an+2
∴（an+2-an+1）-（an+1-an）=2
∵bn=an+1-an，
∴bn+1-bn=2
∴数列{bn}为首项为a2-a1=4，公差为2的等差数列；
（III）证明：由（II）知bn=2n+2
∴=2n-1
∴
∴＜=
∴
又∵≥
∴-（1-）＞
∴

解析分析：（I）根据数列递推式，利用赋值法，可得结论；（II）根据数列递推式，令m=n+2，进而可得an+2=2an+1-an+2，由此可证数列{bn}为等差数列；（III）确定数列的通项，求出数列的和，再进行放缩，即可证得结论．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确确定数列的通项，利用放缩法是解题的关键．