如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA= 6

发布时间：2020-07-27 15:40:27

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA= 6 ．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．

网友回答

分析：（I）连接AC交BD于O，连接PO．菱形ABCD中，证出AC⊥BD且O是BD的中点，从而得到PO是等腰△PBD中，PO是底边BD的中线，可得PO⊥BD，结合PO、AC是平面PAC内的相交直线，证出BD⊥平面PAC，从而得到PC⊥BD；

（II）根据ABCD是边长为2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面积为 根号3，△PAO中证出AO2+PO2=6=PA2可得PO⊥AC，结合PO⊥BD证出PO⊥平面ABCD，所以PO= 根号3是三棱锥P-ABC的高，从而三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=1，再由E为PA中点算出三棱锥E-ABC的体积VE-ABC= 1/2，进而可得三棱锥P-BCE的体积等于VP-ABC-VE-ABC= 1/2，得到本题答案．

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