【全国卷2数学答案】2014全国卷数学2第18题几何解法

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【答案】 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
　　（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
　　（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.
　　（1）证明：由题意：设AC的中点为G,连接EG.
　　在三角形PBD中,中位线EG//PB,且EG在平面AEC上,
　　∴PB//平面AEC.
　　（2）解析：∵四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,
　　∴面PAD⊥面ABCD
　　∵E为PD的中点,过E作EH⊥AD交AD于H
　　∴EH⊥面ABCD,即EH为三棱锥E-ACD的高
　　∵二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,
　　∴EH=PA/2=1/2
　　过D作DM⊥AE交AE延长线于M,连接CM
　　易知CD⊥面PADM,∴DM是CM在面PADM中投影==>CM⊥AM
　　∴∠CMD为二面角D-AE-C的平面角,∠CMD=60°
　　在Rt⊿PAD中,∠EAD=∠EDA=arctan1/√3=π/6
　　∴sin∠EAD=DM/AD=1/2==>DM=√3/2==>AM=3/2
　　在Rt⊿CDM中,∠CMD=60°
　　tan∠CMD=CD/DM=√3==>CD=3/2
　　∴S(⊿ACD)=1/2AD*CD=1/2*√3*3/2=3√3/4
　　V(E-ACD)=1/3*EH*S(⊿ACD)=1/3*1/2*3√3/4=√3/8