设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是A.[1，e]B.[1，1+e]C.[e，1+e]D.[0，1]

网友回答

A

解析分析：根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f-1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex=x2-x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2-x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b）
其中f-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex=x2-x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A

点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．