已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C, AC、BD相交于N点，连结ON、NP,下列结论：①四边形ANPD是梯形； ② ON=NP； ③ DP·PC为定值； ④PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是A.①②③B.②③④C.①③④D.①④
网友回答
C解析①因为DA、DP、CP、CB为⊙O切线，故DA⊥AB，CB⊥AB．于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．∴∠CAD=∠NCB，∠ADN=∠DBC，∴△AND∽△CNB，∴CB/AD=CN/NA=CP/DP,∴NP∥BC，故NP∥AD，又AN与DP相交，∴四边形ANPD是梯形，本选项正确；②不能确定；③连接OP，OD，OC，如图所示：由DA，DP为圆O的切线，∴∠OAD=∠OPD=90°，在直角三角形OAD和OPD中，DA=DP，OD=OD，∴△OAD≌△OPD，∴∠AOD=∠POD，同理∠POC=∠BOC，∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°，∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°，又OP⊥CD，∴∠POD+∠POC=90°，∠POD+∠ODP=90°，∴∠ODP=∠POC，同理∠POD=∠PCO，∴△OPD∽△CPO，∴OP/PC=DP/OP,即OP2=DP?PC，∵OP为圆O的半径，为定值，故DP?PC为定值，本选项正确；④因为DA=DP，所以∠DAP=∠DPA．因为NP∥AD，所以∠NPA=∠DAP．所以∠DPA=∠NPA．PA为∠NPD的平分线．则一定成立的选项有：①③④．故