矩形abcd的对角线ac,bd相交于点o,过点o作oe⊥ac∠sin boe的值为

网友回答

答案：3/5

【解答】解：如图，连接EC．
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，
∴S△AEC=2S△AOE=10．
∴(1/2)*AE•BC=10，又BC=4，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=√CE^2-BC^2=√5^2-4^2=3．
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，
∴B、C、O、E四点共圆，
∴∠BOE=∠BCE．

另解：∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°-∠OBC=90°-（∠BCE+∠ECO）
∴∠BOE+[90°-（∠BCE+∠ECO）]+∠EAO=90°，
化简得：∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0
∵OE为AC中垂线，
∴∠EAO=∠ECO．
代入上式得：∠BOE=∠BCE．
∴sin∠BOE=sin∠BCE=BE/EC=3/5
故答案为：3/5

【点评】本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．