【对数的性质】对数的运算性质

发布时间:2021-03-29 02:33:18

对数的运算性质 数学

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【答案】 基本性质  如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
    1、a^log(a) N=N (对数恒等式)
    证:设log(a) N=t,(t∈R)
    则有a^t=N 
    a^(log(a)N)=a^t=N.
    即证.[2]
    2、log(a) a=1
    证:因为a^b=a^b
    令t=a^b
    所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
    令b=1,则1=log(a)a
    3、log(a) (M·N)=log(a) M+log(a) N
  4、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
    5、log(a) M^n=nlog(a) M
    6、log(a)b*log(b)a=1
    7、log(a) b=log (c) b÷log (c) a (换底公式)
    基本性质5推广
    log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
    推导如下:
    由换底公式
    log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
    换底公式的推导:
    设e^x=b^m,e^y=a^n
    则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y
    x=ln(b^m),y=ln(a^n)
    得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
    由换底公式
    log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
    再由基本性质5可得
    log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
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