【椭圆积分】第一类椭圆积分的展开是咋推的?

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【答案】 椭圆积分
　　　　在积分学中,椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中.Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者.现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数f的积分
　　　　其中R是其两个参数的有理函数,P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根,而c是一个常数.
　　　　通常,椭圆积分不能用基本函数表达.这个一般规则的例外出现在P有重根的时候,或者是R(x,y)没有y的奇数幂时.但是,通过适当的简化公式,每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分.（也即,第一,第二,和第三类的椭圆积分）.
　　　　除下面给出的形式之外,椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式.通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解.历史上,椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的,特别是这一个：F (sn(z;k);k) = z其中sn是雅可比椭圆函数之一.
　　　　记法
　　　　椭圆积分通常表述为不同变量的函数.这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分）,但是它们看起来很不相同.很多文献使用单一一种标准命名规则.在定义积分之前,先来检视一下这些变量的命名常规：
　　　　模角; 椭圆模; 参数; 上述三种常规完全互相确定.规定其中一个和规定另外一个一样.椭圆积分也依赖于另一个变量,可以有如下几种不同的设定方法：
　　　　幅度 x 其中 u,其中x = sn u而sn是雅可比椭圆函数之一 规定其中一个决定另外两个.这样,它们可以互换地使用.注意u也依赖于m.其它包含u的关系有
　　　　和
　　　　后者有时称为δ幅度并写作.有时文献也称之为补参数,补模或者补模角.这些在四分周期中有进一步的定义.第一类不完全椭圆积分 F定义为
　　　　与此等价,用雅可比的形式,可以设 ；则
　　　　其中,假定任何有竖直条出现的地方,紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且,当反斜杠出现的时候,跟着出现的是模角. 在这个意义下,这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun.使用限界符；| \是椭圆积分中的传统做法.
　　　　但是,还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法.取值为椭圆积分的函数没有（象平方根,正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字.甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法.Gradstein, Ryzhik [1], Eq.(8.111)]采用.该记法和这里的；以及下面的等价.
　　　　和上面的不同对应的是,如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言,必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替.反过来,如果从Maple翻到Mathematica,则参数应该用它的平方代替.Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等；至少当0