【微分方程的通解】微分方程通解y'-3xy=2x的通解

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【答案】 解微分方程y'-3xy=2x
　　这是一个典型的一阶线性微分方程.其基本解法(程式化解法)如下：
　　先求一阶线性齐次方程y'-3xy=0的通
　　dy/dx=3xy；分离变量得dy/y=3xdx；积分之,得lny=(3/2)x²+lnC₁；即得y=C₁e^[(3/2)x²；
　　将C₁换成x的函数u,即y=ue^[(3/2)x²].(1)
　　将(1)的两边对x取导数得：dy/dx=y'=(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²].(2)
　　将(1)和(2)代入原方程得：
　　(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]-3xue^[(3/2)x²]=2x
　　故得(du/dx)e^[(3/2)x²]=2x；分离变量得du=2xe^[-(3/2)x²]dx；
　　积分之得u=∫2xe^[-(3/2)x²]dx=(-2/3)∫de^[-(3/2)x²]=-(2/3)e^[-(3/2)x²]+C
　　代入(1)式即得通解y={-(2/3)e^[-(3/2)x²]+C}e^[(3/2)x²]=-2/3+Ce^[(3/2)x²]
　　【此解法谓之“参数变异法”或“常数变异法”】