【二重积分的计算方法】微积分常用公式要全的已及二重积分的计算方法

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【答案】 利用极坐标计算二重积分,有公式
　　∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的.
　　 I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy
　　x的积分上限是1,下限0
　　y的积分上限是x,下限是x??
　　 积分区域D即为直线y=x,和直线y=x??在区间[0,1]所围成的面积,转换为极坐标后,θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围：
　　 因为y=x??的极坐标方程为：rsinθ=r??cos??θ r=sinθ/cos??θ
　　
　　 因为直线y=kx和曲线y=x??的交点为(0,0),(k,k??),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos??θ],则积分I化为极坐标的积分为
　　I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)??+(rsinθ)??rdr
　　=∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos??θ])
　　=∫(sinθ/cos??θ)dθ(θ范围[0,π/4])
　　=∫(-1/cos??θ)dcosθ
　　=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])
　　=1/cos(π/4)-1/cos0
　　=√2-1