设F1，F2分别为椭圆E：x^2+y^2÷b^2=1的左右焦点，过F1的直线l与E相交于A,B两点，且AF2，AB,BF2成等差列。若直线l的斜率为1，求b的值
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设F1，F2分别为椭圆E：x^2+y^2/b^2=1(0<b<1)的左右焦点，过F1的直线l与E相交于A,B两点，且AF2，AB,BF2成等差列。若直线l的斜率为1，求b的值
解：椭圆x2+y2/b2=1
a=1，AF1+AF2=2,BF1+BF2=2
AB=AF1+BF2
根据题意
2AB=AF2+BF2
3AB=AF1+AF2+BF1+BF2
3AB=4
AB=4/3
设过点F1（-c，0）的直线为y=x+c
代入椭圆b2x2+y2=b2
b2x2+x2+2cx+c2=b2
(b2+1)x2+2cx+c2-b2=0
x1+x2=-2c/(b2+1)
x1*x2=(c2-b2)/(b2+1)
AB=4/3
16/9=(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
8/9=4c2/(b2+1)2-4(c2-b2)/(b2+1)
c2=a2-b2=1-b2
所以
4(1-b2)/(b2+1)2-4(1-2b2)/(b2+1)=8/9
b^4=1/9(b2+1)2
b2=1/3(b2+1)
3b2=b2+1
b2=1/2
b=√2/2
所以b=√2/2