已知二面角α-l-β的大小为45°,m,n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m,n

发布时间:2020-07-27 07:38:21

已知二面角α-l-β的大小为45°,m,n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m,n所成角的大小为A.135°B.90°C.60°D.45°

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D解析分析:在直线m上取点P,过P作PA⊥β于A,结合n⊥β可得PA∥n,直线PA与m所成的锐角或直角就是m,n所成角.设m⊥α于B,经过点P、A、B的平面交二面角α-l-β的棱l于C,连接AC、BC.利用直线与平面垂直的判定与性质,可得∠ACB即为二面角α-l-β的平面角,即∠ACB=45°,最后用四边形内角和定理,得到∠APB=180°-∠ACB=135°,PA与m所成的锐角是45°,因此m,n所成角的大小为45°.解答:在直线m上取点P,过P作PA⊥β于A,设m⊥α于B作出经过点P、A、B的平面,该平面交二面角α-l-β的棱l于C连接AC、BC∵PA⊥β,n⊥β∴PA∥n,直线PA与m所成的锐角或直角就是m,n所成角∵PA⊥β,l?β∴l⊥PA同理l⊥PB∵PA∩PB=P∴l⊥平面PAB∵AC、BC?平面PAB∴l⊥AC,l⊥BC∠ACB即为二面角α-l-β的平面角,∠ACB=45°∵四边形PACB中,∠PAC=∠PBC=90°∴∠APB=180°-∠ACB=135°∴PA与m所成的锐角为180°-135°=45°所以异面直线m,n所成角等于45°故选D点评:本题着重考查了异面直线所成角、二面角的平面角的作法和直线与平面垂直的判定与性质等知识点,属于中档题.运用垂面法作二面角的平面角,是解决本题的关键.
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