《线性代数》陈维新浙江大学课后答案
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第一章 行列式
习题1.1
1. 证明：（1）首先证明 )3( Q 是数域。
因为 )3( QQ? ，所以 )3( Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数 )3(3,3 2211 Qbaba ∈++ ，我们有
因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
如果 0322 ≠+ba ，则必有 不同时为零，从而 22,ba 0322 ≠?ba 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
综上所述，我们有 )3( Q 是数域。
（2）类似可证明 )(pQ 是数域，这儿p是一个素数。
（3）下面证明：若 q p, 为互异素数，则 )()( qQpQ ? 。
（反证法）如果 )()( qQpQ ? ，则 qbapQba +=?∈?, ，从而有
qabqbapp 2)()( 222 ++== 。
由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有 02= qab 。
所以有 或 。 0 = a 0 = b
如果 ，则 ，这与 是互异素数矛盾。
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