已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：f（x）＜3x+3．
网友回答
解：（Ⅰ）令x1=x2=0，
由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）≥3
又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；
∴f（0）=3．
（Ⅱ）任取x1，x2∈[0，1]，且设x1＜x2，
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]≥f（x1）+f（x2-x1）-3，
因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）≥3，即f（x2-x1）-3≥0，
∴f（x1）≤f（x2）．
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4．
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，（2），不等式成立；
（3）假设当n=k时，（4）
由
得
即
所以，当n=k+1时，不等式成立；
由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立．
于是，当时，，
所以，
解析分析：（Ⅰ）由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，得f（0）≥3，再由②得f（0）≤3，从而有f（0）=3．
（Ⅱ）解：先任取两个变量，且界定大小，再由主条件按照单调性定义变形得到．
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明，通过这一模型，我们就可得到时，，得到结论．
点评：本题主要考查抽象函数用赋值法求函数值与用单调性定义来证明函数的单调性以及转化化归思想的应用．