等价的矩阵其特征根是否相等?为什么?等价的矩阵其特征值是否相等?为什么?
网友回答
相等.因为等价的矩阵都相似于同一个对角阵,而对角阵上的对角元便是特征值.
设A、B与对角阵D相似,则存在相似变换矩阵Q使得Q^(-1)DQ=A.
设λ(n)是A的第n个特征值,x(n)是相应的特征向量,则
λ(n)x(n)=Ax(n)=Q^(-1)DQx(n)
⇒D[Qx(n)]=λ(n)[Qx(n)]
可见,λ(n)就是D的特征值,所以det(D-λ(n)I)=0,又因为D是对角阵,所以由det(D-λ(n)I)=0不难算出λ(n)就是D的对角元,相应的特征矢量为[Qx(n)].
同理可证明B的特征值是D的对角元,所以等价的矩阵A、B具有相同的特征值.