在△ABC中，角A,B,C的对边a,b,c,且a2+b2﹢√2abc2设cosAcosB3√2/5,cos(α+A)cos(α+B)/cos2α√2/5求tanα的值

网友回答

a2+b2+根号2ab=c2?
是不是a2+b2+(√2)ab=c2吧?

解1：
由余弦定理,有：c2=a2+b2-2abcosC
已知：a2+b2+(√2)ab=c2
因此有：a2+b2-2abcosC=a2+b2+(√2)ab
即：cosC=-(√2)/2
因为：C是三角形内角,
所以：C=135°.

解2：
由解1有：C=135°,又知：C=180°-(A+B)
所以：sinC=(√2)/2,即：sin[180°-(A+B)]=(√2)/2
sin(A+B)=(√2)/2……………………………………(1)
另得：cosC=-(√2)/2,即：cos[180°-(A+B)]=-(√2)/2
cos(A+B)]=(√2)/2……………………………………(2)
由(2),有：cosAcosB-sinAsinB=(√2)/2
已知：cosAcosB=(3√2)/5…………………………(3)
有：(3√2)/5-sinAsinB=(√2)/2
得：sinAsinB=(√2)/10………………………………(4)
又已知：[cos(α+A)cos(α+B)]/cos2α=(√2)/5
(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB)/cos2α=(√2)/5
cos2αcosAcosB+sin2αsinAsinB-sinαcosαsinAcosB-sinαcosαcosAsinB=(√2)/5
将(3)、(4)代入,有：
cos2α(3√2)/5+sin2α(√2)/10-sinαcosα(sinAcosB+cosAsinB)=(√2)/5
cos2α(3√2)/5+sin2α(√2)/10-sinαcosαsin(A+B)=(√2)/5
将(1)代入,有：
cos2α(3√2)/5+sin2α(√2)/10-sinαcosα(√2)/2=(√2)/5
6cos2α+sin2α-5sinαcosα=2
5cos2α+(cos2α+sin2α)-5sinαcosα=2
cos2α-sinαcosα=1/5
cos2α(1-tanα)=1/5………………(5)
又：
tanα=sinα/cosα……………………(6)
cos2α+sin2α=1……………………(7)
由(6)得：sin2α=tan2αcos2α
将(7)代入上式,有：
1-cos2α=tan2αcos2α
(tan2α+1)cos2α=1
cos2α=1/(tan2α+1)
代入(5),有：
(1-tanα)/(tan2α+1)=1/5
5-5tanα=tan2α+1
tan2α+5tanα-4=0
有：tanα=(-5±√41)/2
即：tan(α1)=(-5+√41)/2、tan(α2)=-(5+√41)/2