【2145】能被2145整除且恰好有2145个因数的数有多少个

网友回答

【答案】 首先注意到一个基本定理：如果正整数k分解质因数的结果如下 (p1^(a1)表示p1的a1次方)：
　　　　k = p1 ^ (a1) * p2^(a2) *.* (pn)^(an)
　　　　其中p1,p2.pn为互不相同的素数,a1,a2...,an为正整数
　　那么k的因数恰好有(a1 + 1) * (a2+1) *.(an+1)个
　　例如 12 = 2^2 * 3^1 那么12的因数个数有(2+1) * (1+1) = 6个,为1,2,3,4,6,12
　　设k被2145整除,且因数个数恰好有2145个,由于
　　　　2145 = 3 * 5 * 11 * 13
　　故k的质因数中有3,5,11,13,所以上面的分解中n>=4,不放假设p1 = 3,p2 = 5,p3= 11,p4 =13
　　由k的因数有(a1 + 1) * (a2+1) *.(an+1) = 2145 = 3 * 5 * 11 * 13
　　　　‘而n又大于等于4,左边括号内每一个数都大于1,即每个括号内的数都至少被一个素数整除,如果n大于4,那么左边至少被5个素数(可以相同)整除,但右边只能被4个素数整除,这是不可能的,所以只能n=4,即
　　　　k= 3^(a1) * 5^(a2) * 11^(a3)* 13^(a4)
　　所以(a1 + 1) * (a2+1) *(a3+1)*(a4+1) = 3 * 5 * 11 * 13
　　　　即a1+1,a2+1,a3+1,a4+1 恰好为3,5,11,13的某个排列,故a1,a2,a3,a4恰好为2,4,10,12的某个排列,故组合一共有4*3*2*1 = 24个
　　最后答案24