【二次型化为标准型】求一个正交变换x=py使二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3化为标准型

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【答案】 二次型的矩阵 A=
　　2 0 0
　　0 3 2
　　0 2 3
　　|A-λE| =
　　2-λ 0 0
　　0 3-λ 2
　　0 2 3-λ
　　= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
　　= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
　　所以 A 的特征值为 1,2,5.
　　(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
　　(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
　　(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
　　a1,a2,a3 单位化得
　　b1=(0,1/√2,-1/√2)'
　　b2=(1,0,0)'
　　b3=(0,1/√2,1/√2)'
　　令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且
　　P^-1AP = diag(1,2,5).
　　故 X=PY 是正交变换,满足
　　f = y1^2+2y2^2+5y3^2. 追问： 不好意思，最后四行没看懂。 追答： P = (b1,b2,b3), 是以 b1,b2,b3 为列向量构成的矩阵 diag(1,2,5) 是对角矩阵