网友回答
可以用反证法
已知a(t)=dV(t)/dt，对任一时刻t的速度,根据拉格朗日中值定理有
V(t)-V(0)=a(ξ)(t-0)
V(1)-V(t)=a(ζ)(1-t)
其中ξ在0～t之间，ζ在t～1之间。
由于V(0)=0,V(1)=0所以上两式变成
V(t)= a(ξ)t
V(t)= a(ζ)(1-t)
现在假设任意时刻加速度|a(t)|<4,则有
|V(t)|<4t
|V(t)|<4(1-t)
要让两式都成立，只需取两个值最小的，即|v(t)|<min[4t,4(1-t)]
画个图也许更清楚一些：
网友回答
如果上来就做更一般性的考虑，不管它是怎样变速。
令路程S=S（t)，速度V=S'（t)，行驶过程从t=0到t=1,那么初速度和末速度都是0，则S(0)=0，S(1)=1，S'(0)=0,S'(1)=0,加速度a=S''(t).
用泰勒公式处理下，将S(1/2)分别在0和1点一阶展开，得
S(1/2)=S(0)+S'（0)（1/2-0）+S''(C1)/2!(1/2-0)^2=1/8S''(C1),C1属于(0,1/2)
S(1/2)=S(1)+S'(1)(1/2-1)+S''(C2)/2!(1/2-1)^2=1+1/8S''(C2),C2属于(1/2,1)
上述两式相减,得0=1+1/8[S''(C2)-8S''(C1)],8=S''(C2)-S''(C1),两边取绝对值,有8≤|S''(C2)|+|S''(C1)|,若|S''(C2)|≥|S''(C1)|,则|S''(C2)|≥4；若| | S''(C1)|≥|S''(C2)|，则|S''(C1)|≥4。
可知在行驶过程中，必有一时间点满足题意。
网友回答
缺一个“匀加速再匀减速，加速度最小 ”的证明，要用微分中值定理吧。v-t图倒更简单些，三角形面积S=底*高/2，解得高不小于2，易得加速度不小于4。
网友回答
假设匀加速再匀减速，这样加速度最小。
公式s=a*t^2/2。
代入1/2=a*(1/2)^2/2。
解得a=4。
得证。