如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱CC1垂直于底面ABC，AC=3，AB=5，CB=4，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求三棱锥A1-B1CD的体积． 数学
网友回答
【答案】 （1）证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．又∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1，∴AC⊥BC1． （2） 在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB1A1，由AC×BC=AB×h，得h=3×45=125．∴三棱锥A1-B1CD的体积V=VC-A1DB1=13S△A1DB1h=13×12×5×4×125=8．
【问题解析】
（1）由勾股定理得AC⊥BC，由CC1⊥面ABC 得到CC1⊥AC，从而得到AC⊥面BCC1，故AC⊥BC1．（2）C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB1A1，面积法求CF，求出三角形DB1A1的面积，代入体积公式进行运算． 名师点评 本题考点 棱柱、棱锥、棱台的体积 空间中直线与直线之间的位置关系 考点点评 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A1B1D的距离是解题的难点．
【本题考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积 空间中直线与直线之间的位置关系 考点点评 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A1B1D的距离是解题的难点．